B. Perbandingan Vektor dimensi Dua dan Jarak Suatu Titik ke Vektor

B. Perbandingan vektor dimensi dua dan jarak suatu titik ke vektor

Untuk Perbandingan Vektor pada Ruas Garis, terdapat tiga jenis dalam pembagian ruas garisnya yang mengakibatkan juga ada tiga jenis bentuk perbandingan vektornya. Misalkan terdapat titik A, titik B dan titik P pada sebuah ruas garis. Kita anggap titik P sebagai pembagi ruas garis AB. Ada dua kemungkinan letak titik P yaitu :
1). Titik P terletak diantara titik A dan B (membagi di dalam),
2). Titik P terletak sebelum atau setelah titik A dan B (membagi di luar).

         Misalkan dari titik A, B, dan P kita buat vektor vosisi masing-masing yaitu OA→=a⃗  , OB→=b⃗  dan OP→=p⃗ . Dari artikel "vektor posisi", jika vektor posisinya a⃗ =(a1,a2,a3) , maka koordinat titik A adalah A(a1,a2,a3). Berikut penjelasan ketiga kemungkinan letak titik P sebagai titik pembagi ruas garis AB dalam Perbandingan Vektor pada Ruas Garis.

Perbandingan Vektor dengan titik bagi di dalam

       Misalkan titik P membagi garis AB di dalam dengan perbandingan AP→:PB→=m:n

dimana m dan n semuanya positif, seperti gambar berikut ini.

Koordinat titik P dapat ditentukan dengan rumus perbandingan vektor :
p⃗ =mb⃗ +na⃗ m+n

♠ Pembuktian rumus perbandingan vektor titik bagi di dalam :
       Perhatikan gambar berikut ini,

Dari bentuk perbandingan vektornya maka kita peroleh :
AP→:PB→AP→PB→nAP→n(p⃗ −a⃗ )np⃗ −na⃗ np⃗ +mp⃗ (m+n)p⃗ p⃗ =m:n=mn=mPB→=m(b⃗ −p⃗ )=mb⃗ −mp⃗ =mb⃗ +na⃗ =mb⃗ +na⃗ =mb⃗ +na⃗ m+n
Jadi, terbukti p⃗ =mb⃗ +na⃗ m+n.♡

Perbandingan Vektor dengan titik bagi di luar

       Misalkan titik P membagi garis AB di luar dengan perbandingan m:n

dimana m dan n semuanya positif. Ada dua kemungkinan letak titik P terhadap titik A dan B yaitu :
(i). Titik P terletak sebelum AB dengan syarat m<n
Perbandingan vektornya : PA→:PB→=m:n atau AP→:PB→=−m:n
(ii). Titik P terletak setelah AB dengan syarat m>n
Perbandingan vektornya : AP→:BP→=m:n atau AP→:PB→=m:−n
(Catatan : Jika arah vektor dibalik maka nilai perbandingannya menjadi negatif).
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini

Koordinat titik P dapat ditentukan dengan rumus perbandingan vektor :
*). Titik P sebelum garis AB :
p⃗ =−mb⃗ +na⃗ −m+n
*). Titik P setelah garis AB :
p⃗ =mb⃗ −na⃗ m−n

Catatan :
*). Untuk titik P berada di luar garis berarah AB, terdapat dua rumus pada penjabaran di atas tergantung dari letaknya yaitu sebelum atau setelah AB. Sebenarnya kedua rumus tersebut menghasilkan vektor posisi P yang sama (coba kalikan −1 pada pembilang dan penyebutnya, pasti memberikan hasil yang sama) , Sehingga kita cukup menggunakan salah satu.
*). Agar memudahkan dalam menghitung, sebaiknya kasih tanda negatif pada nilai perbandingan yang lebih kecil saja.

♠ Pembuktian rumus perbandingan vektor titik bagi di luar :
       Cara pembuktiannya sama dengan cara titik bagi di dalam dengan menggunakan perbandingan vektor AP→:PB→=−m:n atau AP→:PB→=m:−n.

♣ Trik mudah mengingat Rumus Perbandingan vektor :
       Berikut trik mudah mengingat rumus perbandingan vektor sehingga kita tidak perlu mengingat gambarnya lagi:
Trik I : Bentuk perbandingannya harus yang kembar (titik yang double ) harus berada ditengah, jika belum maka baliklah sehinga yang kembar ada ditengah. INGAT : jika mebalik vektor maka tandanya menjadi negatif.
Trik II : Cara menghitungnya adalah dekat kali dekat dan jauh kali jauh seperti gambar berikut ini:

Trik III : Jika teman-teman lupa dengan rumus perbandingannya, maka kita langsung gunakan bentuk perkalian vektor dengan skalar saja atau kelipatan vektor.
Misalkan terdapat perbandingan vektor PA→:PB→=m:n
Maka pengerjaannya kita jabarkan biasa yaitu :
PA→:PB→PA→PB→nPA→n(a⃗ −p⃗ )na⃗ −np⃗ =m:n=mn=mPB→=m(b⃗ −p⃗ )=mb⃗ −mp⃗ 
Dari bentuk na⃗ −np⃗ =mb⃗ −mp⃗  ini pasti kita akan bisa mencari vektor satuan mana yang diminta karena tinggal mengganti titik yang diketahui.

Sebagai ilustrasi trik I dan trik II di atas yaitu :
a). Misalkan ada perbandingan vektor AB→:BC→=m:n
Rumus perbandingan vektornya : b⃗ =mc⃗ +na⃗ m+n
b). Misalkan ada perbandingan vektor BA→:BC→=p:q
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yaitu titik B belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dulu menjadi AB→:BC→=−p:q
Rumus perbandingan vektornya : b⃗ =−pc⃗ +qa⃗ −p+q
c). Misalkan ada perbandingan vektor CD→:GD→=p:q
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yaitu titik D belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dulu menjadi CD→:DG→=p:−q
Rumus perbandingan vektornya : d⃗ =pg⃗ −qc⃗ p−q
d). Misalkan ada perbandingan vektor AD→:BA→=m:n
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yaitu titik A belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dulu menjadi BA→:AD→=n:m
Rumus perbandingan vektornya : a⃗ =nd⃗ +mb⃗ n+m