D. Sudut antara Dua Vektor

D. Sudut antara Dua Vektor

Bagian 1

Mencari Sudut antara Dua Vektor

1. 
   1
   Identifikasi vektor-vektornya. Tuliskan semua informasi yang Anda miliki mengenai kedua vektor. Kita akan mengasumsikan bahwa Anda hanya memiliki definisi vektor tentang koordinat dimensinya (juga disebut komponen).^[1] Jika Anda sudah mengetahui panjang vektor (besarnya), Anda akan dapat melewati beberapa langkah di bawah ini.

   • Contoh: Vektor dua dimensi ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ = (2,2). Vektor ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ = (0,3). Vektor ini juga dapat ditulis sebagai ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ = 2i + 2j dan ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ = 0i + 3j = 3j.
   • Jika contoh kita menggunakan vektor-vektor dua dimensi, instruksi-instruksi di bawah ini menggunakan vektor-vektor dengan komponen angka berapa pun.
2. 
   2
   Tulislah rumus kosinus. Untuk mencari sudut θ antara dua vektor, mulailah dengan rumus untuk mencari kosinus sudut tersebut. Anda dapat mempelajari rumus di bawah ini, atau hanya menuliskannya:^[2]

   • cosθ = (${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$) / (||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| ||${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ||)
   • ||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| artinya "panjang vektor ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$."
   • ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ adalah hasil perkalian titik (perkalian dot/ produk skalar) dari dua vektor, yang dijelaskan di bawah ini.
3. 
   3
   Hitunglah hasil perkalian titik (dot) dari kedua vektor. Anda mungkin sudah mempelajari cara mengalikan vektor ini, yang juga disebut produk skalar.^[3] Untuk menghitung hasil perkalian titik (dot) dalam komponen-komponen vektor, kalikan komponen-komponen dalam setiap arah, kemudian jumlahkan semua hasilnya.^[4]

   • Dalam istilah matematika, ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, dengan u = (u₁, u₂). Jika vektor Anda memiliki lebih dari dua komponen, lanjutkan saja menambahkan + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Maka, untuk sebuah vektor dua dimensi, ||u|| = √(u₁² + u₂²).
   • Dalam contoh kita, ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6.
4. 
   4
   Hitunglah panjang setiap vektor. Bayangkan sebuah segitiga siku-siku digambarkan dari komponen x, komponen y dari vektor, dan vektor itu sendiri. Vektor ini membentuk sisi miring dari segitiga, sehingga untuk mencari panjangnya, kita menggunakan teorema Pythagoras. Ternyata, rumus ini dapat dengan mudah dikembangkan menjadi vektor-vektor dengan komponen-komponen angka berapa pun. ^[5]

   • ||u||² = u₁² + u₂². Jika sebuah vektor memiliki lebih dari dua komponen, lanjutkan saja menambahkan +u₃² + u₄² + ...
   • Dengan demikian, untuk vektor dua dimensi, ||u|| = √(u₁² + u₂²).
   • Dalam contoh kita, ||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. ||${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$|| = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
5. 
   5
   Masukkan hasil Anda ke dalam rumus. Ingat, cosθ = (${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$) / (||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| ||${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ||). Sekarang, Anda mengetahui hasil perkalian titik (dot) dan panjang masing-masing vektor. Masukkan nilai ini ke dalam rumus ini untuk menghitung kosinus sudut.

   • Dalam contoh kita, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6. 
   6
   Carilah sudutnya berdasarkan kosinus.
   Anda dapat menggunakan fungsi arc kosinus atau cos^-1 pada kalkulator Anda untuk mencari sudut θ dari nilai cosθ yang diketahui. Untuk beberapa hasil, Anda mungkin dapat mencari sudutnya berdasarkan lingkaran satuan.

   • Dalam contoh kita, cosθ = √2 / 2. Jawaban ini benar untuk lingkaran satuan untuk θ = ^π/₄ or 45º.
   • Lalu, kita akan menyatukan semuanya, sehingga rumus akhir kita adalah: sudut θ = arc kosinus((${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$) / (||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| ||${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ||))