A. Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3)
Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.
Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :
- koordinat kartesius p = (x, y, z)
- vektor kolom p =
atau, vector baris p=(x,y,z)
- kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p = xi + yj + zk



i = vektor satuan dalam arah OX
j = vektor satuan dalam arah OY
k = vektor satuan dalam arah OZ
Modulus Vektor
Modulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor. Jika suatu vektor dengan koordinat titik A (x1 , y1 ,z1) dan B (x2 , y2 , z2) maka modulus (besar) atau panjang vektor dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :

Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a1i + a2j + a3k , maka modulus vektor a adalah :


Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis

Modulus / besar vektor posisi adalah :

Modulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor. Jika suatu vektor dengan koordinat titik A (x1 , y1 ,z1) dan B (x2 , y2 , z2) maka modulus (besar) atau panjang vektor dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :

Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a1i + a2j + a3k , maka modulus vektor a adalah :


Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis

Modulus / besar vektor posisi adalah :

Operasi Vektor
1.
Penjumlahan vector secara geometris

Dari
ketiga vector tersebut dapat dijumlahkan dengan cara sebagai berikut:

Pada
penjumlahan vector berlaku hukum
a
+ b = b + a

Pada
vector berlaku sifat ASOSIATIF
(a
+ b) + c = a + (b + c)
2. Pengurangan vector secara geometris
Pengurangan vector dapat dilakuakan dengan menjumlahkan vector 1
dengan lawan vector 2.

3. Penjumlahan dan pengurangan vector secara analisis
Untuk menjumlahkan vector-vektor 3 dimensi digunakan metode analitik.
Penguraian vector :

Vector a dapat diuraikan menjadi Ax dan Ay
Ax = a cos θ
Ay = a sin θ
Utuk menentukan besarnya vector a dan arah vector a dapat digunakan
rumus sebagai berikut:

C. Perkalian Vektor
1. Perkalian sebuah konstanta dengan sebuah vektor

- “Jika k positif maka arahnya sama dengan arah vector a”
- “Jika k negatif maka arahnya berlawanan dengan vector a”
2. Perkalian dua buah vector dengan hasil berupa skalar

Operasi di atas disebut juga “dot product”
Keterangan:
a = vector a
b = vector b
θ = sudut yang dibentuk antara vector a dan vector b
3. Perkalian dua buah vector dengan hasil berupa vector lain

Keterangan:
a = vector a
b = vector b
θ = sudut yang dibentuk antara vector a dan vector b
Operasi di atas disebut juga “cross product”
Arah hasil perkalian vector a dan b selalu tegak lurus dengan bidang
yang dibentuk oleh vector a dan b.
Untuk menentukan arah perkalian vector:

Kepalkan jari tangan melingkupi sumbu sambil mendorong vector a ke
vector b oleh ujung-ujung jari melalui sudut terkecil, sementara ibu
jari tetap tegak jadi hasil perkalian vector a dan b ditentukan oleh
ibu jari.
Jika kita mengetahui komponen-komponen vector yang akan kita kalikan,
kita bisa menggunakan sifat-sifat perkalian silang diantara sesama
vector satuan untuk mencari hasil perkalian silang antara dua vector.
Sifat-sifat tersebut adalah:
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = -i x k = j
dengan sifat-sifat tersebut kita peroleh :
A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x (Bx
i + By j + Bz k)
A x B = (Ay Bz - A z By )i
+ (A z BX - Ax BZ )j +(Ax
By - Ay Bx )k
Berarti jika C = A x B, maka komponen-komponen dari C sama dengan :
C = Cx I + Cy j + Cz k adalah :
Cx = Ay Bz - Az By
Cy = Az BX - Ax BZ
Cz = Ax By - Ay Bx