MATEMATIKA PEMINATAN

A. Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3)

Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.
Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :

1. koordinat kartesius p  =  (x, y, z)
2. vektor kolom p  =   atau, vector baris p=(x,y,z)
3. kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p  = xi + yj + zk

dengan i =,j = , dan k =
i = vektor satuan dalam arah OX
j = vektor satuan dalam arah OY
k = vektor satuan dalam arah OZ

Modulus Vektor
Modulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor. Jika suatu vektor  dengan koordinat titik A (x₁ , y₁ ,z₁) dan B (x₂ , y₂ , z₂) maka modulus (besar) atau panjang vektor   dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :

Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a₁i + a₂j + a₃k , maka modulus vektor a adalah :

Vektor Posisi

Vektor posisi titik P adalah vektor  yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis

Modulus / besar vektor posisi  adalah :

Operasi Vektor

1. Penjumlahan vector secara geometris

Dari ketiga vector tersebut dapat dijumlahkan dengan cara sebagai berikut:

Pada penjumlahan vector berlaku hukum

a + b = b + a

Pada vector berlaku sifat ASOSIATIF

(a + b) + c = a + (b + c)

2. Pengurangan vector secara geometris

Pengurangan vector dapat dilakuakan dengan menjumlahkan vector 1 dengan lawan vector 2.

3. Penjumlahan dan pengurangan vector secara analisis

Untuk menjumlahkan vector-vektor 3 dimensi digunakan metode analitik.

Penguraian vector :

Vector a dapat diuraikan menjadi Ax dan Ay

Ax = a cos θ

Ay = a sin θ

Utuk menentukan besarnya vector a dan arah vector a dapat digunakan rumus sebagai berikut:

C. Perkalian Vektor

1. Perkalian sebuah konstanta dengan sebuah vektor

• “Jika k positif maka arahnya sama dengan arah vector a”
• “Jika k negatif maka arahnya berlawanan dengan vector a”

2. Perkalian dua buah vector dengan hasil berupa skalar

Operasi di atas disebut juga “dot product”

Keterangan:

a = vector a

b = vector b

θ = sudut yang dibentuk antara vector a dan vector b

3. Perkalian dua buah vector dengan hasil berupa vector lain

Keterangan:

a = vector a

b = vector b

θ = sudut yang dibentuk antara vector a dan vector b

Operasi di atas disebut juga “cross product”

Arah hasil perkalian vector a dan b selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vector a dan b.

Untuk menentukan arah perkalian vector:

Kepalkan jari tangan melingkupi sumbu sambil mendorong vector a ke vector b oleh ujung-ujung jari melalui sudut terkecil, sementara ibu jari tetap tegak jadi hasil perkalian vector a dan b ditentukan oleh ibu jari.

Jika kita mengetahui komponen-komponen vector yang akan kita kalikan, kita bisa menggunakan sifat-sifat perkalian silang diantara sesama vector satuan untuk mencari hasil perkalian silang antara dua vector. Sifat-sifat tersebut adalah:

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = -j x i = k

j x k = -k x j = i

k x i = -i x k = j

dengan sifat-sifat tersebut kita peroleh :

A x B = (A_x i + A_y j + A_z k) x (B_x i + B_y j + B_z k)

A x B = (A_y B_z - A _z B_y )i + (A _z B_X - A_x B_Z )j +(A_x B_y - A_y B_x )k

Berarti jika C = A x B, maka komponen-komponen dari C sama dengan :

C = C_x I + C_y j + C_z k adalah :

C_x = A_y B_z - A_z B_y

C_y = A_z B_X - A_x B_Z

C_z = A_x B_y - A_y B_x